Solution:

$x(n)=\sin (\mathrm{n} \theta) \mathrm{u}(\mathrm{n})\\ $

$X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \sin (n \theta) e^{-\mathrm{j} \omega n}\\ $

$=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{e^{j \theta n}-e^{-j \theta n}}{2 j}\right) e^{-\mathrm{j} \omega n}\\ $

$=\frac{1}{2 j}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\theta-\omega) \mathrm{n}}-\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\theta+\omega) \mathrm{n}}\right)\\ $

$=\frac{1}{2 j}\left(\frac{1}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\theta-\omega)}}-\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\theta+\omega)}}\right)\\ $

$=\frac{1}{2 j}\left(\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\theta+\omega)}-1+\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\theta-\omega)}}{1-2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega} \cos \theta+e^{-2 j \omega}}\right)\\ $ …